Cette preuve met en évidence un point crucial de l'analyse réelle : les fonctions en escalier sont denses dans l'ensemble des fonctions continues. Cela veut dire qu'on peut approcher d'aussi près qu'on le souhaite toute fonction continue définie sur un intervalle, et ce, grâce à des fonctions en escalier. Dans ce cas précis, l'hypothèse que l'intégrale de f contre toute fonction en escalier est nulle implique que f est nulle partout.
En d'autres termes, même si les fonctions en escalier sont simples, elles sont suffisamment nombreuses et denses pour repérer toute variation non nulle d'une fonction continue. Cette idée est essentielle pour saisir des concepts plus complexes comme l'intégration de Riemann et la construction d'espaces fonctionnels. La densité permet de ramener l'étude de fonctions complexes à celle de fonctions simples et faciles à manipuler.
اللهم صلي و سلم على سيدنا محمد و على آله و صحبه اجمعين
